Rozważmy prawie-liniowe równanie różniczkowe cząstkowe rzędu drugiego

gdzie \( \hskip 0.3pc a_{ij}, \hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc i,j=1,\ldots, n \hskip 0.3pc \) są funkcjami określonymi na zbiorze \( \hskip 0.3pc U\subset \mathbb{R}^n, \hskip 0.3pc \) niezerującymi się równocześnie w żadnym punkcie tego zbioru, \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) jest szukaną funkcją zmiennych \( \hskip 0.3pc x_1, \ldots ,x_n, \hskip 0.3pc \) a \( \hskip 0.3pc F \hskip 0.3pc \) jest funkcją zadaną.
Z równaniem ( 1 ) możemy związać formę kwadratową

Z teorii form kwadratowych wiadomo, że dla każdego ustalonego punktu \( \hskip 0.3pc (x_1,\ldots, x_n)\in U \hskip 0.3pc \) istnieje przekształcenie postaci

które formę ( 3 ) sprowadza do postaci kanonicznej,

tzn. postaci w której występują tylko kwadraty \( \hskip 0.3pc \mu_i. \hskip 0.3pc \)
Z twierdzenia Sylwestera-Jacobiego o bezwładności form kwadratowych wynika, że ilość współczynników dodatnich oraz ujemnych nie zależy od sposobu sprowadzenia do postaci kanonicznej. Jest ona niezmiennikiem względem przekształceń nieosobliwych. Oznacza to, że równanie ( 1 ) poprzez stosowne przekształcenie możemy sprowadzić do postaci kanonicznej

Mówimy, że równanie ( 1 ) jest w punkcie \( \hskip 0.3pc (x_1, \ldots ,x_n) \hskip 0.3pc \) typu eliptycznego, jeżeli wszystkie współczynniki \( \hskip 0.3pc \widetilde a_i \hskip 0.3pc \) w postaci kanonicznej ( 5 ) są różne od zera i mają ten sam znak, typu hiperbolicznego jeżeli są różne od zera i występują zarówno współczynniki ujemne jak i dodatnie, typu parabolicznego, jeżeli niektóre współczynniki są równe zeru a odpowiadające im pochodne pierwszego rzędu nie znikają równocześnie. Jeśli ponadto współczynniki różne od zera mają ten sam znak, równanie nazywamy paraboliczno-eliptycznym, jeśli znaki różne, paraboliczno-hiperbolicznym.
Jeśli \( \hskip 0.3pc \Lambda =[\lambda_1, \ldots ,\lambda_n] \hskip 0.3pc \) oznacza macierz jednowierszową \( \hskip 0.3pc \Lambda^T \hskip 0.3pc \) macierz transponowaną, a \( \hskip 0.3pc A \hskip 0.3pc \) macierz \( \hskip 0.3pc n\times n \hskip 0.3pc \) wymiarową o wyrazach \( \hskip 0.3pc a_{ij}, \hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc i,j =1, \ldots, n \hskip 0.3pc \) to formę kwadratową ( 2 ) możemy zapisać w postaci macierzowej \( \hskip 0.3pc \Lambda\,A\,\Lambda^T. \hskip 0.3pc \) Sprowadzenie formy do postaci kanonicznej odpowiada przekształceniu macierzy \( \hskip 0.3pc A \hskip 0.3pc \) do postaci diagonalnej, tzn. postaci w której poza przekątną występują same zera. Jeśli w macierzy diagonalnej na przekątnej wszystkie wyrazy są różne od zera i mają ten sam znak, równanie różniczkowe ( 1 ) jest typu eliptycznego, jeśli są różnych znaków , typu hiperbolicznego, a jeśli niektóre wyrazy są równe zeru, przy czym odpowiadające tym zmiennym pochodne pierwszego rzędu nie znikają -typu parabolicznego.
Zapiszmy równanie ( 1 ) w postaci \( \hskip 0.3pc Lu=g, \hskip 0.3pc \) gdzie \( \hskip 0.3pc L \hskip 0.3pc \) jest operatorem określonym wzorem

lub

Jeśli równanie to jest typu eliptycznego (odp. hiperbolicznego, parabolicznego), to operator \( \hskip 0.3pc L \hskip 0.3pc \) nazywamy operatorem typu eliptycznego (odp. hiperbolicznego, parabolicznego).